韩信点兵

　　背景来源

　　淮安民间传说着一则故事——“韩信点兵”：

　　秦朝末年，楚汉相争。有一次，韩信将1500名将士与楚王大将李锋交战。苦战一场，楚军不敌，败退回营，汉军也死伤四五百人，于是，韩信整顿兵马也返回大本营。当行至一山坡，忽有后军来报，说有楚军骑兵追来。只见远方尘土飞扬，杀声震天。汉军本来已十分疲惫，这时队伍大哗。韩信兵马到坡顶，见来敌不足五百骑，便急速点兵迎敌。他命令士兵3人一排，结果多出2名;接着命令士兵5人一排，结果多出3名;他又命令士兵7人一排，结果又多出2名。韩信马上向将士们宣布：我军有1073名勇士，敌人不足五百，我们居高临下，以众击寡，一定能打败敌人。汉军本来就信服自己的统帅，这一来更相信韩信是“神仙下凡”、“神机妙算”。于是士气大振。一时间旌旗摇动，鼓声喧天，汉军步步进逼，楚军乱作一团。交战不久，楚军大败而逃。

　　题目

　　首先我们先求5、9、13、17之最小公倍数9945(注：因为5、9、13、17为两两互质的整数，故其最小公倍数为这些数的积)，然後再加3，得9948(人)。

　　在一千多年前的《孙子算经》中，有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何?”按照今天的话来说：一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求这个数。这样的问题，也有人称为“韩信点兵”.它形成了一类问题，也就是初等数论中的解同余式。

　　① 有一个数，除以3余2，除以4余1，问这个数除以12余几?

　　解：除以3余2的数有：2， 5， 8， 11，14， 17， 20， 23…

　　它们除以12的余数是：2，5，8，11，2，5，8，11…

　　除以4余1的数有：1， 5， 9， 13， 17， 21， 25， 29…

　　它们除以12的余数是：1， 5， 9， 1， 5， 9，….

　　一个数除以12的余数是唯一的.上面两行余数中，只有5是共同的，因此这个数除以12的余数是5。如果我们把①的问题改变一下，不求被12除的余数，而是求这个数.很明显，满足条件的数是很多的，它是5+12×整数，整数可以取0，1，2，…，无穷无尽.事实上，我们首先找出5后，注意到12是3与4的最小公倍数，再加上12的整数倍，就都是满足条件的数.这样就是把“除以3余2，除以4余1”两个条件合并成“除以12余5”一个条件.《孙子算经》提出的问题有三个条件，我们可以先把两个条件合并成一个.然后再与第三个条件合并，就可找到答案.

　　②一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求符合条件的最小数。

　　解：先列出除以3余2的数：2， 5， 8， 11， 14， 17， 20， 23， 26…

　　再列出除以5余3的数：3， 8， 13， 18， 23， 28…

　　这两列数中，首先出现的公共数是8.3与5的最小公倍数是15.两个条件合并成一个就是8+15×整数，列出这一串数是8， 23，38，…，再列出除以7余2的数 2， 9， 16， 23， 30…

　　就得出符合题目条件的最小数是23.

　　事实上，我们已把题目中三个条件合并成一个：被105除余23.

　　那么韩信点的兵在1000-1500之间，应该是105×10+23=1073人

　　中国有一本数学古书「孙子算经」也有类似的问题：「今有物，不知其数，三三数之，剩二，五五数之，剩三，七七数之，剩二，问物几何?」答曰：「二十三」

　　术曰：「三三数剩一置几何?答曰：五乘七乘二得之一百四。

　　五五数剩一复置几何?答曰，三乘七得之二十一是也。

　　七七数剩一又置几何?答曰，三乘五得之十五是也。

　　三乘五乘七，又得一百零五。

　　则可知已，又三三数之剩二，置一百四十，五五数之剩三，置六十三，七七数之剩二，置三十，并之，得二百三十三，以二百一十减之，即得。凡三三数之剩一，则置七十，五五数之剩一，则置二十一，七七数之剩一，则置十五，即得。」

　　孙子算经的作者及确实著作年代均不可考，不过根据考证，著作年代不会在晋朝之后，以这个考证来说上面这种问题的解法，中国人发现得比西方早，所以这个问题的推广及其解法，被称为中国剩余定理。

　　简单扼要总结

　　1.算两两数之间的能整除数

　　2.算三个数的能整除数

　　3.用1中的三个整除数之和减去2中的整除数之差(有时候是倍数)

　　4.计算结果即可

　　韩信带1500名兵士打仗，战死四五百人，站3人一排，多出2人;站5人一排，多出4人;站7人一排，多出6人。韩信马上说出人数：1049

　　如多一人，即可凑整。幸存人数应在1000~1100人之间，即得出：

　　3乘5乘7乘10减1=1049(人)

　　到了明代，数学家程大位用诗歌概括了这一算法，他写道：

　　三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，

　　七子团圆月正半，除百零五便得知。

　　这首诗的意思是：用3除所得的余数乘上70，加上用5除所得余数乘以21，再加上用7除所得的余数乘上15，结果大于105就减去105的倍数，这样就知道所求的数了。

　　金庸先生曾在作品《射雕英雄传》引用过此段。